Fresnel's equation、Snell's Law、Brewster Angle、Critical Angle、Evanescent Wave

這個內容在很多書上其實應該都有詳細推導，所以這邊我只是列出公式，並補充一些我覺得能幫助理解、記憶的一些重點概念。

這裡只是複雜，但其實並沒有特別難的觀念，比較可能會有問題的只有phasor裡面參數代表波行進方向這件事，如果對這個圖本身就有問題，可以看看較早的前三篇是否可以解決疑問。

首先列出斜向入射的兩個模式－s-polarization(垂直入射面)以及p-polarization(平行入射面)－的電磁場表示式，只有phasor，不含time項。

$\vec{E_i}=E_0(-\sin\theta_1\hat{a_z}+\cos\theta_1\hat{a_x})e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)}\\ \vec{H_i}=\frac{1}{\eta_1}E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)} \\\\ \vec{E_r}=\Gamma E_0(\sin\theta_3\hat{a_z}+\cos\theta_3\hat{a_x})e^{-j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3)}\\ \vec{H_r}=\frac{1}{\eta_1}\Gamma E_0(-\hat{a_y})e^{-j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3)} \\\\ \vec{E_t}=\tau E_0(-\sin\theta_2\hat{a_z}+\cos\theta_2\hat{a_x})e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}\\ \vec{H_t}=\frac{1}{\eta_2}\tau E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}$

$\vec{E_i}=E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)}\\ \vec{H_i}=\frac{1}{\eta_1}E_0(\sin\theta_1\hat{a_z}-\cos\theta_1\hat{a_x})e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)} \\\\ \vec{E_r}=\Gamma E_0\hat{a_y}e^{ -j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3) }\\ \vec{H_r}=\frac{1}{\eta_1}\Gamma E_0(\sin\theta_3\hat{a_z}+\cos\theta_3\hat{a_x})e^{ -j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3) } \\\\ \vec{E_t}=\tau E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}\\ \vec{H_t}=\frac{1}{\eta_2}\tau E_0(\sin\theta_2\hat{a_z}-\cos\theta_2\hat{a_x})e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}$

以上公式都是非常原始的狀態，我們假裝不知道反射定律$\theta_1 = \theta_3$，或是折射定律$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$，因為以上這些公式「加上邊界條件」正是導出本篇文章各種定律的原型。
幾個重點幫助記憶：

• 每個$\vec{E}$或$\vec{H}$裡面都可以分成三個部分：振幅、波行進方向、場的方向。
• 包含「$\eta、E_0、\Gamma、\tau$」項的都是振幅的一部分。$\Gamma、\tau$是反射、透射係數， $\eta$則是電場與磁場在不同介質下的比值。
• 而扣掉振幅部分後，在exponential之前的sine、cosine以及附帶的單位向量如「$\hat{a_z}、\hat{a_x}$」等項都算是描述電場的。
• exponential上面的指數項用來描述波行進的方向以及震盪的狀況(相位的變化)，粗略的說，$\beta$描述了波長(但隨介質不同而變化)，前面的負號只是約定俗成，而虛數意味著exponential項對振幅最大值沒有影響，在斜向入射的題目中，應該不會考exponential上面的指數有實數的題目(通常表示衰減)。
• 請看式子確認下面敘述：入射波跟透射波除了「角度從$\theta_1$變成$\theta_2$」及「振幅項多了一個透射係數$\tau$」以外整個形式沒什麼改變。道理是通過介質後除了角度稍有不同，波行進方向以及場的指向皆沒有什麼改變，而exponential的指數項和前面用來描述場方向的向量自然就也沒什麼改變(例如不會突然變出負號)。
• 請看式子確認下面敘述：兩種mode雖然前面的向量型式不同，exponential倒是一模一樣，原因是exponential表示的是波行進方向，而不管哪個mode，波行進的情形都一樣。
• 注意透射波的$\eta$跟$\beta$跟入射波及反射波的不同，因為這兩個波位於不同介質，所以這兩個參數會不同。
• 關於反射波作圖，場的方向規則是這樣的，若將入射與反射兩條線拉近(也可以說讓$\theta_1$跟$\theta_3$的角度逼近$0$)，則上面電場的方向必須一致，磁場則是相反，情況跟「垂直入射」一介面時要一樣，這樣才合理。至於為什麼垂直入射介面時，反射的電磁波其磁場必須與入射波相反，這可以由Maxwell's eq.導出，算是課本中基本概念。

Snell's Law
這裡用上第一個邊界條件，簡單說就是這三個波的相位在「$z=0$處」「x方向上」必須要相等，用原文書的說法就是"phase match"，相位的描述就是在exponential上面那串，把跟x有關的參數全部畫上等號，得到如下等式
$$\beta_1\sin\theta_1=\beta_1\sin\theta_3=\beta_2\sin\theta_2$$
第一個跟第二個明顯組合出反射定律 $$\theta_1=\theta_3$$ ，第一跟第三則是折射定律 $$\beta_1\sin\theta_1=\beta_2\sin\theta_2$$

• $\beta$可以拆解成$\omega\sqrt{\mu\epsilon}$加上定義$n=\sqrt{\epsilon}$以及假設兩介質的$\mu$不變，則可以把$\beta$寫成$n$，變成常見的形式，即 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$。
• 一般單講Snell's Law的話是指折射定律的部分。

Fresnel's equation
接下來把介質兩側的電場、磁場的x方向振幅也等號，稍微不同的是，這次是「入射+反射=透射」而不是像相位那樣「入射=反射=透射」。

p-polarization可以得到聯立方程
$\cos\theta_1+\Gamma\cos\theta_3=\tau\cos\theta_2\\ \frac{1}{\eta_1}+\frac{1}{\eta_1}\Gamma=\frac{1}{\eta_2}\tau$
這種二變數連立方程式，用矩陣的行列式解法會比較快，之後再補齊這個資料。
總之解開後會得到
$\Gamma_\parallel=\frac{\eta_2\cos\theta_2-\eta_1\cos\theta_1}{\eta_2\cos\theta_2+\eta_1\cos\theta_1}\\ \tau_\parallel=\frac{2\eta_2\cos\theta_1}{\eta_2\cos\theta_2+\eta_1\cos\theta_1}$


而s-polarization的聯式則是
$1+\Gamma=\tau\\ \frac{-\cos\theta_1}{\eta_1}+\frac{\cos\theta_3}{\eta_1}\Gamma=\frac{ -\cos\theta_2 }{\eta_2}\tau$
其解為
$\Gamma_\perp=\frac{\frac{\eta_2}{\cos\theta_2}-\frac{\eta_1}{\cos\theta_1}}{\frac{\eta_2}{\cos\theta_2}+\frac{\eta_1}{\cos\theta_1}}\\ \tau_\perp=\frac{2\frac{\eta_2}{\cos\theta_2}}{ \frac{\eta_2}{\cos\theta_2}+\frac{\eta_1}{\cos\theta_1} }$


以上四個$\Gamma_\perp、\tau_\perp、\Gamma_\parallel、\tau_\parallel$即合稱Fresnel's equation。分別表示出在TE、TM mode下不同的反射、透射係數。

• 兩邊電磁場振幅相同的原因是$E_t$連續、$H_t$連續，必須注意的是 $H_t$連續的條件必須是兩介質皆無耗損，即$\sigma=0$。若不懂可以去查一下$H_{t1}-H_{t2}=\vec{J_s}$這個介面上的四大邊界條件之一，這邊不多述。
• 注意$\tau_\parallel$的分子上的$\cos$後接的是$\theta_1$而不是 $\theta_2$，稍微有點特別，要小心。
• 上式中已經自動納入考慮$\theta_1=\theta_3$這個反射定律。

另外還有一個補充就是折射定律以及三角恆等式合差化積：

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\\ \sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin(\frac{\alpha\pm\beta}{2})\cos(\frac{\beta\mp\alpha}{2})$
這裡用上式可以將反射係數重寫為

$\Gamma_\perp=\frac{\sin(\theta_2-\theta_1)}{\sin(\theta_2+\theta_1)}\\ \Gamma_\parallel=\frac{\tan(\theta_2-\theta_1)}{\tan(\theta_2+\theta_1)}$
下面這條將在Brewster Angle時用到。

Critical Angle

要導出全反射角$\theta_c$要用Snell's Law的折射定律，簡單說設定透射角為$\frac{\pi}{2}$即可。

會得到$\beta_1\sin\theta_c = \beta_2\sin\frac{\pi}{2}$

推得$\theta_c=\sin^{-1}\frac{\beta_2}{\beta_1}=\sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}$

Evanescent Wave

全反射後的消散波看似複雜，但千萬不要放棄掉，其實導法很容易，只要你熟上面那些公式，很快就可以寫出。
首先我們討論的情況是入射角$\theta_1>\theta_c$的狀況，這時候由折射定律知道
$\sin\theta_2=\frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\theta_1>1$
sine函數大於1顯然不正常，所以這時$\theta_2$是無解的，但是我們還是照樣寫出cosine：
$\cos\theta_2=\pm j\sqrt{\sin^2\theta_2-1}=-j\sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1}$
(注意我把$\cos\theta_2$跟$\sin\theta_2$都寫成$\theta_1$的函數，考試可能會這樣問，你也要寫得出來。)
(又cosine取負的原因有點不明，請網友告知，或我之後查證補上。)

然後把$\cos\theta_2、\sin\theta_2$都塞回到透射波的公式，得到
$\vec{E_t}=\vec{E}e^{-j\beta_2(-z j\sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1} +x \frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\theta_1 )}$
$\vec{E}$根據TE、TM mode而不同，但是exponential後面的指數項是一樣的，而這也是考試的重點，因為$\sin\theta_2>1$的關係，透射波會有很特殊的變化。
將上式的exponential的指數整理一下：
$-j\beta_2(z j\sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1} +x \frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\theta_1 )=\\-z\beta_2 \sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1} -j x\beta_1\sin\theta_1$
可以發現在z方向上有負實數出現，這意味著在z方向上他會衰減!!功能類似在衰減介質中波函數產生的$\alpha$項，事實上在原文書中這一項就是被寫為$-\alpha_2$，而x方向的項則是寫為$-\jmath\beta_{2x}$。
整個透射波寫為 $$\vec{E_t}=\vec{E}e^{-\alpha_2-j\beta_{2x}}$$
而在x方向上它可以繼續傳播，變成一個往x傳播，往z漸漸消失的神奇的怪波。

Brewster's Angle
布魯斯角是指電磁波斜向入射時，會有某個特別的角度使的反射波為零，也就是波全都鑽到另一邊的介質了，一般來說，這只會發生在p-polarization，也就是電場平行入射面的狀況，特殊狀況下(例如介質2是磁性物質)，這也有可能發生在s-polarization，不過這裡不討論，過去也沒考過。
導出Brewster's Angle用到兩個等式：1.反射波為零，以及2.折射定律，列出聯立方程如下：
$\Gamma_\parallel=0$
$n_1\sin\theta_B=n_2\sin\theta_2$
根據上述Fresnel's equantion的第二個形式，可以推得$\Gamma_\parallel=\frac{\tan(\theta_2-\theta_1)}{\tan(\theta_2+\theta_1)}=0$
這表示下方tangent中的角度必須使tangent無限大，也就是$\frac{\pi}{2}$。
而這可以導出第一個Brewster Angle的特性，也就是
$$\theta_B+\theta_2=\frac{\pi}{2}$$
而Brester's Angle的寫法則是利用上式代換Snell's Law：
$n_1 \sin ( \theta_B ) =n_2 \sin ( 90^\circ - \theta_B )=n_2 \cos ( \theta_B )$
$$\Rightarrow \theta_B = \tan^{-1} ( \frac{n_2}{n_1} )$$




反射係數 vs 入射角的圖

取自於WIKI

我比較喜歡這張，這張可以同時看出反射係數的正負。

• 左邊圖都是入射前介質折射率小於透射後介質折射率。右邊則是相反。
• 可以看出Critical Angle只發生在$n_1>n_2$下。