1st order PDE

本篇針對以下這種題型

$a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u=0$
初始條件為$u(x,0)=f(x)$

a, b大部分狀況下都是考常數，c大部分情況是零，f(x)隨便，常常看到設為exponential的題目。
解題策略有點類似Exact ODE，先令所有變數都是s的函數$u(s)、y(s)、x(s)$，接著解開$u(s)$，然後再把s用x, y套回去，大功告成。

步驟如下：
先寫出u的全微分$$\frac{du(s)}{ds}=\frac{du}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{du}{dy}\frac{dy}{ds}=u_x x_s+u_y y_s$$
對照題目我們可以"設定"
$\frac{dx}{ds}=a\\
\frac{dy}{ds}=b$
則題目變成
$\frac{du}{ds}+cu=0\\
u=u(s=0)e^{-cs}$
目標是把$u(s=0)$以及$s$用$x, y$表示。

下面提供比較簡化的狀況的解答：a與b都是常數

從上面的$x, y$的微分可以推得
$x=as+k_1=as+x_0\\
y=bs+k_2=bs$
上面用了一個技巧，就是其實$k_1, k_2$可以自訂!
之所以這樣設，是為了符合初始條件，請看下面。

到這裡已經得到$s=\frac{y}{b}$了，現在求另一個未知數
$u(s=0)=u(x=x_0,y=0)=u(x_0,0)=f(x_0)$   而   $x_0=x-as=x-a\frac{y}{b}$

答案是$$u=f(x-a\frac{y}{b})e^{-c\frac{y}{b}}$$