讀書筆記: 3月 2012

2012年3月11日星期日

1st order PDE

本篇針對以下這種題型

$a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u=0$
初始條件為$u(x,0)=f(x)$

a, b大部分狀況下都是考常數，c大部分情況是零，f(x)隨便，常常看到設為exponential的題目。
解題策略有點類似Exact ODE，先令所有變數都是s的函數$u(s)、y(s)、x(s)$，接著解開$u(s)$，然後再把s用x, y套回去，大功告成。

步驟如下：
先寫出u的全微分$$\frac{du(s)}{ds}=\frac{du}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{du}{dy}\frac{dy}{ds}=u_x x_s+u_y y_s$$
對照題目我們可以"設定"
$\frac{dx}{ds}=a\\
\frac{dy}{ds}=b$
則題目變成
$\frac{du}{ds}+cu=0\\
u=u(s=0)e^{-cs}$
目標是把$u(s=0)$以及$s$用$x, y$表示。

下面提供比較簡化的狀況的解答：a與b都是常數

從上面的$x, y$的微分可以推得
$x=as+k_1=as+x_0\\
y=bs+k_2=bs$
上面用了一個技巧，就是其實$k_1, k_2$可以自訂!
之所以這樣設，是為了符合初始條件，請看下面。

到這裡已經得到$s=\frac{y}{b}$了，現在求另一個未知數
$u(s=0)=u(x=x_0,y=0)=u(x_0,0)=f(x_0)$ 而 $x_0=x-as=x-a\frac{y}{b}$

答案是$$u=f(x-a\frac{y}{b})e^{-c\frac{y}{b}}$$

2012年3月10日星期六

Fresnel's equation、Snell's Law、Brewster Angle、Critical Angle、Evanescent Wave

這個內容在很多書上其實應該都有詳細推導，所以這邊我只是列出公式，並補充一些我覺得能幫助理解、記憶的一些重點概念。

這裡只是複雜，但其實並沒有特別難的觀念，比較可能會有問題的只有phasor裡面參數代表波行進方向這件事，如果對這個圖本身就有問題，可以看看較早的前三篇是否可以解決疑問。

首先列出斜向入射的兩個模式－s-polarization(垂直入射面)以及p-polarization(平行入射面)－的電磁場表示式，只有phasor，不含time項。

$\vec{E_i}=E_0(-\sin\theta_1\hat{a_z}+\cos\theta_1\hat{a_x})e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)}\\
\vec{H_i}=\frac{1}{\eta_1}E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)}
\\\\
\vec{E_r}=\Gamma E_0(\sin\theta_3\hat{a_z}+\cos\theta_3\hat{a_x})e^{-j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3)}\\
\vec{H_r}=\frac{1}{\eta_1}\Gamma E_0(-\hat{a_y})e^{-j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3)}
\\\\
\vec{E_t}=\tau E_0(-\sin\theta_2\hat{a_z}+\cos\theta_2\hat{a_x})e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}\\
\vec{H_t}=\frac{1}{\eta_2}\tau E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}$

$\vec{E_i}=E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)}\\
\vec{H_i}=\frac{1}{\eta_1}E_0(\sin\theta_1\hat{a_z}-\cos\theta_1\hat{a_x})e^{-j\beta_1(z\cos\theta_1+x\sin\theta_1)}
\\\\
\vec{E_r}=\Gamma E_0\hat{a_y}e^{ -j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3) }\\
\vec{H_r}=\frac{1}{\eta_1}\Gamma E_0(\sin\theta_3\hat{a_z}+\cos\theta_3\hat{a_x})e^{ -j\beta_1(-z\cos\theta_3+x\sin\theta_3) }
\\\\
\vec{E_t}=\tau E_0\hat{a_y}e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}\\
\vec{H_t}=\frac{1}{\eta_2}\tau E_0(\sin\theta_2\hat{a_z}-\cos\theta_2\hat{a_x})e^{-j\beta_2(z\cos\theta_2+x\sin\theta_2)}$

以上公式都是非常原始的狀態，我們假裝不知道反射定律$\theta_1 = \theta_3$，或是折射定律$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$，因為以上這些公式「加上邊界條件」正是導出本篇文章各種定律的原型。
幾個重點幫助記憶：

每個$\vec{E}$或$\vec{H}$裡面都可以分成三個部分：振幅、波行進方向、場的方向。
包含「$\eta、E_0、\Gamma、\tau$」項的都是振幅的一部分。$ \Gamma、\tau$是反射、透射係數， $\eta$則是電場與磁場在不同介質下的比值。
而扣掉振幅部分後，在exponential之前的sine、cosine以及附帶的單位向量如「$\hat{a_z}、\hat{a_x}$」等項都算是描述電場的。
exponential上面的指數項用來描述波行進的方向以及震盪的狀況(相位的變化)，粗略的說，$\beta$描述了波長(但隨介質不同而變化)，前面的負號只是約定俗成，而虛數意味著exponential項對振幅最大值沒有影響，在斜向入射的題目中，應該不會考exponential上面的指數有實數的題目(通常表示衰減)。
請看式子確認下面敘述：入射波跟透射波除了「角度從$\theta_1$變成$\theta_2$」及「振幅項多了一個透射係數$\tau$」以外整個形式沒什麼改變。道理是通過介質後除了角度稍有不同，波行進方向以及場的指向皆沒有什麼改變，而exponential的指數項和前面用來描述場方向的向量自然就也沒什麼改變(例如不會突然變出負號)。
請看式子確認下面敘述：兩種mode雖然前面的向量型式不同，exponential倒是一模一樣，原因是exponential表示的是波行進方向，而不管哪個mode，波行進的情形都一樣。
注意透射波的$\eta$跟$\beta$跟入射波及反射波的不同，因為這兩個波位於不同介質，所以這兩個參數會不同。
關於反射波作圖，場的方向規則是這樣的，若將入射與反射兩條線拉近(也可以說讓$\theta_1$跟$\theta_3$的角度逼近$0$)，則上面電場的方向必須一致，磁場則是相反，情況跟「垂直入射」一介面時要一樣，這樣才合理。至於為什麼垂直入射介面時，反射的電磁波其磁場必須與入射波相反，這可以由Maxwell's eq.導出，算是課本中基本概念。

Snell's Law
這裡用上第一個邊界條件，簡單說就是這三個波的相位在「$z=0$處」「x方向上」必須要相等，用原文書的說法就是"phase match"，相位的描述就是在exponential上面那串，把跟x有關的參數全部畫上等號，得到如下等式
$$\beta_1\sin\theta_1=\beta_1\sin\theta_3=\beta_2\sin\theta_2$$
第一個跟第二個明顯組合出反射定律$$\theta_1=\theta_3$$，第一跟第三則是折射定律$$\beta_1\sin\theta_1=\beta_2\sin\theta_2$$

$\beta$可以拆解成$\omega\sqrt{\mu\epsilon}$加上定義$n=\sqrt{\epsilon}$以及假設兩介質的$\mu$不變，則可以把$\beta$寫成$n$，變成常見的形式，即 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$。
一般單講Snell's Law的話是指折射定律的部分。

Fresnel's equation
接下來把介質兩側的電場、磁場的x方向振幅也等號，稍微不同的是，這次是「入射+反射=透射」而不是像相位那樣「入射=反射=透射」。

p-polarization可以得到聯立方程
$\cos\theta_1+\Gamma\cos\theta_3=\tau\cos\theta_2\\
\frac{1}{\eta_1}+\frac{1}{\eta_1}\Gamma=\frac{1}{\eta_2}\tau$
這種二變數連立方程式，用矩陣的行列式解法會比較快，之後再補齊這個資料。
總之解開後會得到
$\Gamma_\parallel=\frac{\eta_2\cos\theta_2-\eta_1\cos\theta_1}{\eta_2\cos\theta_2+\eta_1\cos\theta_1}\\
\tau_\parallel=\frac{2\eta_2\cos\theta_1}{\eta_2\cos\theta_2+\eta_1\cos\theta_1}$

而s-polarization的聯式則是
$1+\Gamma=\tau\\

\frac{-\cos\theta_1}{\eta_1}+\frac{\cos\theta_3}{\eta_1}\Gamma=\frac{ -\cos\theta_2 }{\eta_2}\tau$
其解為
$\Gamma_\perp=\frac{\frac{\eta_2}{\cos\theta_2}-\frac{\eta_1}{\cos\theta_1}}{\frac{\eta_2}{\cos\theta_2}+\frac{\eta_1}{\cos\theta_1}}\\

\tau_\perp=\frac{2\frac{\eta_2}{\cos\theta_2}}{ \frac{\eta_2}{\cos\theta_2}+\frac{\eta_1}{\cos\theta_1} }$

以上四個$\Gamma_\perp、\tau_\perp、\Gamma_\parallel、\tau_\parallel$即合稱Fresnel's equation。分別表示出在TE、TM mode下不同的反射、透射係數。

兩邊電磁場振幅相同的原因是$E_t$連續、$H_t$連續，必須注意的是 $H_t$連續的條件必須是兩介質皆無耗損，即$\sigma=0$。若不懂可以去查一下$H_{t1}-H_{t2}=\vec{J_s}$這個介面上的四大邊界條件之一，這邊不多述。
注意$\tau_\parallel$的分子上的$\cos$後接的是$\theta_1$而不是 $\theta_2$，稍微有點特別，要小心。
上式中已經自動納入考慮$\theta_1=\theta_3$這個反射定律。

另外還有一個補充就是折射定律以及三角恆等式合差化積：

$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\\
\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin(\frac{\alpha\pm\beta}{2})\cos(\frac{\beta\mp\alpha}{2})$
這裡用上式可以將反射係數重寫為

$\Gamma_\perp=\frac{\sin(\theta_2-\theta_1)}{\sin(\theta_2+\theta_1)}\\
\Gamma_\parallel=\frac{\tan(\theta_2-\theta_1)}{\tan(\theta_2+\theta_1)}$
下面這條將在Brewster Angle時用到。

Critical Angle

要導出全反射角$\theta_c$要用Snell's Law的折射定律，簡單說設定透射角為$\frac{\pi}{2}$即可。

會得到$\beta_1\sin\theta_c = \beta_2\sin\frac{\pi}{2}$

推得$\theta_c=\sin^{-1}\frac{\beta_2}{\beta_1}=\sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}$

Evanescent Wave

全反射後的消散波看似複雜，但千萬不要放棄掉，其實導法很容易，只要你熟上面那些公式，很快就可以寫出。
首先我們討論的情況是入射角$\theta_1>\theta_c$的狀況，這時候由折射定律知道
$\sin\theta_2=\frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\theta_1>1$
sine函數大於1顯然不正常，所以這時$\theta_2$是無解的，但是我們還是照樣寫出cosine：
$\cos\theta_2=\pm j\sqrt{\sin^2\theta_2-1}=-j\sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1}$
(注意我把$\cos\theta_2$跟$\sin\theta_2$都寫成$\theta_1$的函數，考試可能會這樣問，你也要寫得出來。)
(又cosine取負的原因有點不明，請網友告知，或我之後查證補上。)

然後把$\cos\theta_2、\sin\theta_2$都塞回到透射波的公式，得到
$\vec{E_t}=\vec{E}e^{-j\beta_2(-z j\sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1} +x \frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\theta_1 )}$
$\vec{E}$根據TE、TM mode而不同，但是exponential後面的指數項是一樣的，而這也是考試的重點，因為$\sin\theta_2>1$的關係，透射波會有很特殊的變化。
將上式的exponential的指數整理一下：
$-j\beta_2(z j\sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1} +x \frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\theta_1 )=\\-z\beta_2 \sqrt{(\frac{\beta_1}{\beta_2})^2\sin^2\theta_1-1} -j x\beta_1\sin\theta_1 $
可以發現在z方向上有負實數出現，這意味著在z方向上他會衰減!!功能類似在衰減介質中波函數產生的$\alpha$項，事實上在原文書中這一項就是被寫為$-\alpha_2$，而x方向的項則是寫為$-\jmath\beta_{2x}$。
整個透射波寫為$$ \vec{E_t}=\vec{E}e^{-\alpha_2-j\beta_{2x}}$$
而在x方向上它可以繼續傳播，變成一個往x傳播，往z漸漸消失的神奇的怪波。

Brewster's Angle
布魯斯角是指電磁波斜向入射時，會有某個特別的角度使的反射波為零，也就是波全都鑽到另一邊的介質了，一般來說，這只會發生在p-polarization，也就是電場平行入射面的狀況，特殊狀況下(例如介質2是磁性物質)，這也有可能發生在s-polarization，不過這裡不討論，過去也沒考過。
導出Brewster's Angle用到兩個等式：1.反射波為零，以及2.折射定律，列出聯立方程如下：
$\Gamma_\parallel=0$
$n_1\sin\theta_B=n_2\sin\theta_2$
根據上述Fresnel's equantion的第二個形式，可以推得$\Gamma_\parallel=\frac{\tan(\theta_2-\theta_1)}{\tan(\theta_2+\theta_1)}=0$
這表示下方tangent中的角度必須使tangent無限大，也就是$\frac{\pi}{2}$。
而這可以導出第一個Brewster Angle的特性，也就是
$$\theta_B+\theta_2=\frac{\pi}{2}$$
而Brester's Angle的寫法則是利用上式代換Snell's Law：
$n_1 \sin ( \theta_B ) =n_2 \sin ( 90^\circ - \theta_B )=n_2 \cos ( \theta_B )$
$$\Rightarrow \theta_B = \tan^{-1} ( \frac{n_2}{n_1} )$$

反射係數 vs 入射角的圖

取自於WIKI

我比較喜歡這張，這張可以同時看出反射係數的正負。

左邊圖都是入射前介質折射率小於透射後介質折射率。右邊則是相反。
可以看出Critical Angle只發生在$n_1>n_2$下。

2012年3月9日星期五

用另一種方法「想像」一個TEM

剛接觸電磁波放斜向入射時，一時間真的不容易理解他在講什麼，如果你也有這樣的困擾的話，希望グリコ可以給你跟我一樣好的靈感XD
簡單說如果你把雙手張開想成電場方向，你的腳到頭為磁場方向，然後你開始往前衝，那麼你就是一個TEM，有如下圖一般。

所以說以後你看到如下的圖時，你就應該要看到一個雙手張開的人，衝向一面牆壁，然後一分為二，其中一個撞進牆壁中繼續奔馳，但方向稍微有點偏折，另一個則以相同角度反彈，往另外一邊飛奔出去......

TM、TE、TEM、垂直入射面、平行入射面

完全搞懂兩個無耗損介質間斜向入射的人，應該都可以憑空再現下面的步驟，建議可以沒事拿一張白紙跟一枝筆，自己就畫圖寫出斜向入射方程式，另外還要會導出Fresnel's equation、Brewster Angle、Critical Angle、evanescent wave(在大於Critical Angle時產生的透射波)，這些東西其實是一體的。

不過在那之前，有幾個觀念我先釐清，我自己也花了點時間搞懂，才能確保反射、透射圖能確實理解。

電場、磁場水火不容
這點一定要先確立，可以讓你少走很多冤枉路，例如我說在「x方向、時刻t、位置p」電場有值，那麼在「這一瞬間、這一個位置、這個方向」上，就絕對不會有磁場的值，之所以講這麼嚴格是因為電場磁場都是會一直隨時間位置改變的，剛剛那裡有電場，不代表下一秒那裡就不可能有磁場這樣，先有這個觀念，就比較容易搞懂TE、TM、TEM的關係。
順帶一提，用數學的表示證明這種關係的話就是Maxwell's Equation裡面有關旋度部分的兩條公式：
$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \vec{B}$
$\vec{\nabla} \times \vec{B} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} \vec{E} $　(假設無電流囉)
向量的旋度，基本上一定跟原本的向量垂直，至於為什麼，這方面的資料應該滿多的，之後有機會再講一下我的思考方式。

TM、TE、TEM的關係
首先他們英文全寫出來的話如下
Transverse Magnetic
Transverse Electronic
Transverse ElectroMagnetic
這個Transverse指的是橫向(相對於波方向)，也就是「跟波行進方向垂直」。

由此可以比較快的理解TM就是指磁場跟波行進方向永遠垂直的波（但電場則否，假設行進方向是z，那就會有$E_z$出現，否則就是TEM了）。TE則是指電場跟波方向垂直。而TEM－最簡單的波－就是電場與磁場同時都跟行進方向垂直，換句話說，在行進方向上，沒有電場或磁場。

備註：這裡還有一個重點就是要搞清楚，波行進方向跟當中電場、磁場並不存在必然關係，波走z方向，但電場卻是x方向是非常正常的，要比喻的話就像是一台越野車(波行進)往前衝，但是機關槍(電場)的方向卻是往側面射這樣。

備註：那如果波行進方向上同時會有電場、磁場(但是不同時間交錯)的話怎麼辦，這時一個簡單的辦法就是把他們拆開成TM跟TE分開處理XD

垂直入射面、平行入射面

這邊是為了釐清$\Gamma_\perp、\Gamma_\parallel、\tau_\perp、\tau_\parallel$裡面常見的下標$\perp、\parallel$的意思，所以必須把「什麼是入射面」搞清楚，因為他看的方向經常會跟TM、TE搞混，必須慎之。

首先，下面這張圖的「紙面」就是指入射面，又你可以看到$\vec{E}$是平躺在「紙面」也就是入射面上的，所以你必須說這張圖是電場平行入射面的圖，依此算出來的反射、入射係數應該是$\Gamma_\parallel、\tau_\parallel$(該下標須依據電場方向，而非磁場，此處磁場由於電磁方向必須垂直，是「垂直入射面」)

另外這張圖又經常被稱為TM的Oblique Incident，這邊容易混淆：就是為什麼是TM，依圖來看的話，波斜向入射而電磁場皆垂直入射方向，應該是TEM才對。其實這邊需要改變一下「波行進方向」的觀點為z軸方向，你就會發現$\vec{E}$在「新的波行進方向，也就是z方向」上是有分量的，而磁場卻沒有，故由此觀點，可以得到這張圖的確是TM斜向入射(Oblique Incident)。

順帶一提，上圖只要將電磁場方向交換，就會得到相反的TE結果了。(其實$\vec{H}$方向反射後會相反，不過這裡就當作沒注意到吧XD)

另外稍微說明一下，反射、透射係數中的下標$\perp、\parallel$有時候會被$s、p$分別取代，變成$\Gamma_s、\Gamma_p、\tau_s、\tau_p$，取的是德文裡面的senkrecht(垂直)、parallel(平行)，p不是perdendicular(垂直)喔，要注意注意。

斜向入射電磁波的角度問題

讀電磁波很容易遇到的一個圖就是Oblique Incident，如下

這裡在做圖時，最容易遇到的一個問題就是常常找不到那個角度$\theta$在哪裡，下面我提供我自己用的一個方法，比畫圖時故意將角度畫大，或是聚精會神的找還好用XD

概念很簡單，首先看一下下圖，簡單說就是當兩組垂直線互相交疊時，他們構成的角度一定是每相隔兩個就相同，你可以把這兩組交疊角度弄斜一點，很容易看出來。

如果這樣你還不滿意的話，你可以這樣想：這個圖中每兩個相鄰的角相加一定是$\frac{\pi}{2}$（這應該不用解釋為什麼吧XD），那假設任取三個相鄰角度依序為$\theta_1、\theta_2、\theta_3$，可以輕易的發現$$\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2}$$ $$\theta_2 + \theta_3 = \frac{\pi}{2}$$ $$\theta_1 = \theta_3$$

回到最上面的圖，你就可以發現上圖正好就是這種狀況，其中一組垂直的實線十字由$\vec{E}$跟入射方向構成，而另一組則由座標軸產生的分量畫成的虛線十字構成，上圖我已經把入射以及反射角快速對應畫出來了，這樣是不是比較容易理解了呢？

另外還有一個也要提一下的就是$\vec{E}、\vec{H}、\hat{a_z}$這三組的方向關係，可以用右手定則找出，比的方式就是四指按下圖第二行的規則繞其中兩個方向，然後大拇指指的就會自動是第三個方向，以下圖第一個來說，四指延$\vec{E} \rightarrow \vec{H}$的方向比，大拇指方向出現的就是$\hat{a_z}$。

測試LaTeX

$\LaTeX$
$\LaTeX$
$ \LaTeX$
$\LaTeX $
$ \LaTeX $
$ \LaTeX $
$K=F_k\supset F_{k-1} \supset\ldots\supset F_1\supset F_0 = \mathbb{Q}$

$\sqrt{x} = 5$

安裝使用MathJax
參考：http://irrep.blogspot.com/2011/07/mathjax-in-blogger-ii.html
（其中改HTML的位置因為新版的關係略有不同，不過新版中是有這項設定的，請自己找一下吧XD）

語法參考：
LaTeX - Symbol
LaTeX - Command

進入頁面後面有一段Loading時間，嘛我也懶的架WP，就免強接受吧= =

使用筆記(遇到問期就補充)：
1.使用Blogger編輯時遇到的問題，如果你打的方程式列不出來時，表示字符之間含有一些隱藏的HTML tag在干擾程式碼，只要你整行複製後，用純文字貼上(Chrome的功能)，或者貼在純文字文件夾後再複製一次，再貼回來也可以，當然整行重打也是一個辦法XD

2.強制換行指令\\

工程數學 - 網路資源整理

工數我用的書是Erwin Kreyszig這本，所以基本上以下的資料都是這本裡面沒有，或是解釋我不滿意而另外求解的，另外我也有買「作者：喻超凡、林郁、姚碩－出版社：鼎茂」這本。
以下簡單整理，有些部份我會再把我的想法另文討論，其實這篇對大部分人可能沒什麼用，很多其實書裡就有，總之如果你剛好有相關疑問，我列出來的幾篇資源希望能幫到你＠＠

First Order PDE
一階理論上應該很簡單，不知道為什麼我反而花了點時間找解法。第一篇講的最好理解，也比較沒有簡化。

Decoupling Systems
簡單說就是一階微分聯立方程式，用矩陣方法去解，其實很簡單，交大考最多，其他學校只有出現一兩次。

Contour Integral with techniques of lnz
有些複變積分時會用到加上lnz的技巧，我找很多地方都沒有比較詳細的解說，以下這些都是例子而已，不過對於幫助我理解滿好用的。

Finding Laurent Series
主要是當分母是多項式時，你要怎麼轉換到Taylor Series的一個小技巧。

http://math.ucsd.edu/~doprea/106sol6.pdf

Normal Vector to a plane
現代沒讀好的話會需要下面這些東西....

Matrix Exponential
中央出現過幾次這類矩陣求解，其實我後來發現相關問題要用Cayley Hamilton來解，它可以處理很多簡易的矩陣多項式，之後會另文紀錄。

Linear Difference Equation、Recurrence relation
這邊主要是針對交大某題，其實也只出現一次，時間不夠的人可以跳過。

好用工具

矩陣計算機： http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?lang=en&module=tool%2Flinear%2Fmatrix.en&cmd=new
Wolframe Alpha(可以當簡易版的Mathematics)： http://www.wolframalpha.com/

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